小小衲
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作者：小小衲 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
人类末日的数学解释
首先声明两点：
1。受了木猪的指教，这篇没敢灌水，写得比较干，请读者自带饮料。
2。这说的只是一家之言。
北徙兄说：
“停滞将会是乱源。但“可持续性发展”也不过是镜花水月。欲望无止，资源有限，怎么能“可持续性发展”？最好的结果不过是高效率的利用能源，同时减少污染。但即便如此也做不到可持续。
在消费主义（炽热的物欲）+科技（强力攫取自然能力）的背景下，谈“可持续”就和说中国的政体要中西合壁，集精华于一身一样，说说可以，实际是笑话。
以我之见，真要“可持续”，必然要有文明的升华，这谈何容易。”
这话说的于我心甚有戚戚焉。
昨夜暴雨，今天午后风淡云轻，小衲我依花傍柳，带着儿子在前川走了一趟，心情甚好（风淡云轻近午天，依花傍柳过前川，世人不识余心乐，将谓偷闲学少年。）。加人老兄给我扣上了阿辽沙（斯魔=small 阿列克西的昵称）的帽子，我也不放在心上了。这就来谈一谈为什么我觉得人类没戏了。我尽量用非数学的日常语言。但是好在这里来的大部分是理工科干面包，做一点简单的数学还是没有问题的。
上次在说天马之道一瓣香，和老笛小笛三遗矢时，我曾提到了，生物的能量消耗率和它们的体重的3/4次方成正比。这个指数（3/4） 有很多重要意义，这里只说和人类社会发展有关的两点。
1．这个指数（3/4）小于1，所以，大的动物比小的动物利用能源的效率要高。尖鼠(shrew)是最小的哺乳动物，一般体重在5~10克左右。我们假设它的平均体重是7克，那么一个70公斤重的人的体重就是尖鼠的一万倍。 如果那个指数是1，也就是说，如果能量消耗率和体重呈线性关系，那么人的能量消耗率就是尖鼠的一万倍。但是，现在那个指数不是1，而是3/4，所以人的能量消耗率只有尖鼠的一千倍（一万的3/4次方）。那么人体的每一单位体重（比如说每一克肌肉）所消耗的能量，就比尖鼠的每一单位体重所消耗的能量，小十倍。（这很容易计算，人的能量消耗是鼠的一千倍，而体重是一万倍，所以，每一单位体重的消耗，人就是鼠的十分之一。）
这意思就是，相对地来说（每一单位体重），越大的动物，所需要的能量越少。
2．生物的生长是由能量消耗率驱动的。用一点微分方程的知识就可以证明，由于这个能量消耗率和体重之间的指数（3/4）小于1，生物的生长必然是一个逻辑斯蒂曲线（见下图）。也就是说，到了一定的阶段，达到了成年的体重以后，生长就停止了。（当然也存在永不停止生长的动物，比如鱼类，软体动物，等等。这些生物，一辈子都在生长，永不停息，生命不已，生长不止。这有另外一套理论来解释，这里不论）。
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从这个能量消耗率出发，几十年间，生物学家们得到了一系列和生物体重呈幂律关系的量。比如，生物的寿命长短和体重的1/4次方成正比，心跳和呼吸频率和体重的负1/4次方成正比，（By the way，这两个的乘积，也就是一生中心跳的总数，和生物体重的0次方成正比。也就是说，大动物心跳得慢，但活得长，小动物心跳得快，但活得短，所以无论大小，一生的心跳总数都是一定的，都是15亿次左右。你跳得快，就活得短，所以乌龟总是长命呢，海曼就早死了呢。美国人说, your number is up，是有道理的。）还有，毛细血管的总长度和体重的3/4次方成正比，肺膜的厚度和体重的0.05次方成正比，如此还有无数。光这方面的专著就有好几本。
这是生物界，那么人类社会，是个什么情况呢？
几年前，有人做了一项大规模研究。他们收集了德国，美国和中国将近400个不同规模的城市的多种数据（比如GDP，艾滋病患者人数，申请专利数目，加油站数目，电线的总长度，公路的面积，犯罪率等等）得到如下结论：
1．和生物一样，人类社会同样存在着这样的次方关系。很多东西的数值都是和城市人口数目（也就是城市的体重）的若干次方成正比的。
2．他们把这些量，按指数（次方的大小）分成了三类。
一类是，指数等于一的。也就是说，这些量和人口数目成线性正比关系。比如说，家庭的数量。纽约比圣路易斯大20倍，那么家庭的数量就是圣路易斯的20倍。 这些量都是一些很显而易见的量, very trivial，没有什么意思。
第二类是，指数小于一的。比如，加油站的数目，电线的总长，公路的总面积。指数小于一，是个很重要的事情。指数小于一就是说，越大的城市，人均所需量就越低。就象我前面说的那个人和鼠的例子。在这些量上，越大的城市，效率就越高。
拿加油站数目为例，根据调查，加油站的数目和城市人口的0.77次方成正比。现在假设纽约有一万个加油站（我也不知道有多少个，胡猜的），而人口数目是一千万，这就是说纽约每一千人有一个加油站。而我们这个小城有10万人口，人口是纽约的以百分之一，但是，因为0.77小于一，所以，加油站的数目不是纽约的一百分之一，而是34.6分之一，也就是说，有289家加油站，平均346个人就必须有一个加油站。
注意，这里加油站的数目是我胡编的，（那个次方关系0.77是真的），但是也能看出，大城市里较多人同用一个加油站，而小城市里较少的人同用一个加油站。所以，城市越大，对资源的利用效率就越高。这个我前面举的那个人和鼠的关系是一样的。
所以，人们把这种量称为与生物性质相同的量。这种量体现了人类社会有些事物是以经济，节约为目的的，越大效率越高。这和生物的operation是相似的。
人类社会之所以是人类社会，在于第三类量。这些量和人口数目的指数是大于一的。比如，申请专利的数目，受到高等教育人口的数目，工资的总数，银行储蓄的总数，犯罪率，医院的数目，艾滋病人的数目，等等等等。
这些量的指数大于一，意味着，越大的城市，人均数目越高。纽约市的人均医院数目，人均专利发明数目，人均博士数目，人均犯罪率，都比我们这个小城要高。这儿就不作数学了，但是，用初二数学稍微想一下也能明白。
这些都是人类形成社会以后出现的事物，都是人类社会特有的东西，和生物体是相反的。这是什么意思呢？这个意思就是，在这些事物的发展上，人类不是以效率，节约为目的，而是越多越好，越大越好，是一个正反馈。按有人的说法，这正体现了人类的贪婪，而这种贪婪造成了这种非线性的关系（指数是一的话，就是线性了）。
说了这么半天，终于要说到北徙兄的正题上了。
北徙兄（他年纪比我小，见识比我高，所以我就以兄称之。那个谁谁谁曾指责梁任公启超先生“甘媚后生”，其实我倒不觉得什么。我“媚”笛，“媚”徙，都是基于一个原则，谁漂亮（有内在美）我就媚谁，呵呵。By the way，梁启超“媚”的是谁，我也想不起来了，知道的提醒一下）说的是人类社会的发展问题。
如果把城市比作一个大的有机生物体，那么城市的发展和生物的成长都可以用同一种方程来描述。方程是一样的，但是重要的指数关系却不一样。
生物的生长是由能量消耗率来驱动的(drive)，而能量消耗率和体重的3/4次方成正比。3/4小于一，所以，体重的增长曲线就是上面那个图画的，是一个有极限的增长，长到一定程度，就停了。
城市的发展是由 innovation and wealth （也就是发明和财富）驱动的（drive），而和发明与财富有关的事物的指数都是大于一的。所以，同一个微分方程，由于驱动量的指数大于一，得到的增长曲线，就是一个没有极限的，而且是呈指数形的，越来越快的向上的曲线（如下图）。
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从数学上，我们看到了贪婪造成的没有极限的增长。如果发展没有极限，这个曲线就会在一个特定时间达到一个无穷大的奇点(singularity)，然而资源是有限的，那么也就是说发展就会导致崩溃。
但是，在人类历史上，纯粹由于这种发展带来的崩溃并不多见，这是怎么回事呢？
有人的解释是：在发展的过程中，为了避免崩溃，人们必须在某一个时间点上产生一个 innovation。这种innovation 可以是某一项重要技术的发明（比如蒸汽机，电脑），也可以是一个重要资源的发现（石油，核能），或者是某一种革命。这个innovation的作用就是在发展曲线上，重新设定初始条件，改变方程的某些系数（见下图）。这样一来，本来要走向崩溃的发展（图中的红色虚线）被重新设定了，变成了图中的红色实线。
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从图中我们看到，虽然发展还是没有极限的，但是达到崩溃的时间却被退后了。收集到的真实数据也定性的支持这个模型。比如，纽约市人口的发展，在过去的一百多年中确实是呈这种形状。
从数学上和现实数据来看，技术革命，新能源，能够拖延崩溃的时间。但是从上面那个图中，我们也能看到，新的innovation所必须发明出来的时间也越来越短。这个时间（也就是图中黑色虚线的间隔）是可以从方程里算出来的。这个时间越来越短，过去，几百年才需要有一个innovation来重新设定曲线，现在需要几十年，将来，需要在几年之间就产生一个新的 innovation，而且这个要求会越来越快。
技术的发展确实是越来越快了。蒸汽机代替人力用了上千年，而芦老上网疗愚在30年前还是不可想象的事情。15年前，有个中文汉显就足可夸耀人前，而现在的孩子连手机曾经重得像块砖头都不知道了。
这个时间，从系统的本质要求上来说，它必须越来越短（可以从数学上定性地证明）。人类目前还跟得上这个要求。但是，总有一天，这个时间会变成无穷小，趋于零。那个时候，就是人类的末日了。
怎么办？ 北兄说了：“以我之见，真要“可持续”，必然要有文明的升华”。
这个文明的升华，就我理解，不是新的 innovation，不是去重新设定发展曲线的初始条件和系数。而是连整个曲线的形状都改变，整个方程的性质都改变。
比如说，把贪婪的，外向的，征服的金毛文明，改进成节约的，内敛的，谦逊的凝脂文明。这在数学上来说，就是把那个指数由大于一改成小于一，或者至少减小指数的数值。
我曾经想过收集亚洲“后进民族的”历史上的数据，作一个类似的研究。看看在这些“后进民族”的历史上，那些指数现在大于一的量会不会曾经有小于一的指数。但是后来因为“后进民族”的古人不懂天马之道，从来不知收集定量的数据，而作罢。
但是，从另一个角度想，芦老说的是对的：我们的节约的，内敛的，谦逊的文明，是一个停滞的文明。从数学上看也确是如此：如果指数小于一，发展曲线就会变成逻辑斯蒂曲线（如第一个图），也就是说，发展到了某一点上就会停止。在生物上，就是生物达到了成年年龄，我猜在中华文明发展史上，就是到了唐朝了。
所以，这个新文明是什么，我不知道，新曲线，新方程是什么，我也不知道。
也许，人类由发展带来的崩溃是不可避免的。
行文至此，不由叹道：教人焉得不信神。
最后，我还要再强调一点：这个增长模型只是一个学派的一家之言。而且，它虽然有很多数据支持，但是总是不够定量化。
作者：小小衲 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
上一次由小小衲于2010-3-21 周日, 下午11:19修改，总共修改了7次 |
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