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 提上来：分家问题再解 |
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樊弓
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作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
提上来：分家问题再解
樊弓
加人把樊某旧作＂戏侃马克思主义＂重贴，把一些老争议又引出来。分家
问题就是当初吵得不可开交的问题之一。
原问题：老爹留下一房一车加十万大洋给三兄弟，遗嘱规定车房都不许卖
给外人。请问三兄弟应如何分，才能使得遗产的总效用最大？
附加假定：三兄弟对车和房各有估价：老大认为房子值２５万，车值５万；
老二觉得房子值２０万，车值８万，老三心想房子值１５万，车值１０万。
戏侃原解：兄弟三人投标购买房和车，然后平分现金。其结果是：如果每
人的目的都是使自己的利益极大化，则都总效用达到最高的４５万元。从
而验证亚当.斯密的著名论断：人人为自己谋利的结果是全社会获益。
戏侃原解引出争议的原因，是只举出一种投标结果：每人都老老实实按自
己心中的最高价投标。于是很多人提问：这不是很傻吗？如果大家都投机
取巧，报价刚好超出竞争对手的最高可能价岂不更好？
后来我又写了篇＂遗产问题详解＂，说明投机取巧只是改变兄弟之间的相
对收益，并不改变自私自利导致兄弟间总效用极大的结果。
昨天observer先生提出一个有趣的新问题：投标购买车和房鼓励说假话。因
为最佳策略是报价刚好超出竞争对手的最高价。分家的最优方法应该是投标
之后，出价最高者中标，但以第二高价购买。这样一方面保证总效用最高，
另一方面又使得说假话没任何好处，因而鼓励诚信，一箭双雕。
同时，观察家提出新的可能：由于企图占便宜，兄弟之间猜测对方的出价，
因此可能出现结果并不一定总效用最佳。
老O的问题很有意思。值得分析一番。
首先，无论是 first-price auction， 还是 second-price auction，似乎都不
与戏侃原文的结论矛盾：追求个人利益极大导致全社会利益极大。
老O的方案是不是一定鼓励诚信呢？这倒是值得商榷的。
１。老大心中最高房价是２５万，而报价２１万，并不是不诚实行为。
因为它更愿意用２１万买。
２。老O的方案仍然隐含说假话的 incentive （激励？）。因为对老二要是
知道老大的出价是２５万，那么他的最佳决策是出价 24.99999 万，而不
是心中的 ２０万。而超出２０万的任何价都是不诚实的。
３。假定三人都诚实，则老O的方案保证三兄弟的结果不公平：老大
用２０万多一分买车，老三用８万零１分买车，结果三人的效用分别为：
$176,666.66, $126,666.67, $146,666.66 （见＂遗产问题详解＂）。
老二最吃亏，于是他有很大的 incentive 不诚实。
因此，哪种方案更好，并不是一个简单的问题。我说过，分家问题的结果
无穷多。超出了＂戏侃＂原文的范畴。为了跟老O探讨，我再提出一种结
果。
假定老三诚实，用１０万报价并买走车。老大老三皆老奸巨滑，而且对对
方的估价都心知肚明。老二断定老大要用２１万报价拣便宜买房，如果他
诚实地报２０万，则吃亏无疑。
于是老三决定报价２２万，先将房买下。三人平分 ２２＋１０＋１０＝４２
万元，各得 １４ 万。三人的实际效用分别为：
老大：１４万 （现金）
老二： ２０万（房子）－２２万（出价）＋１４万（现金） ＝ １２万
老三：１０万（车）－１０万（出价）＋１４万（现金）＝ １４万
－－－－－－－－－－－－
总效用：４０万。
可事情还没完。老二当即跟老大私下商量，把房子卖给老大。由于假定每
人都企图将效用极大化，因此任何大于２０万小于２５万的价格都是双方
获益。老大老二之间的平衡点是用 ２３.５万成交，最终分配结果是：老
大老二各得１５。５万，老三 １４ 万。总效用最终还是最优的 ４５ 万。
自私加市场，全社会利益达到最优，亚当.斯密还是对的。
老O看看这个结果如何？请老O和其它高手继续指教。
附：observer 原贴
－－－－－－
作者: observer 说真话的经济学 10/14/2002 22:07 [Click:69]
我估计小左的意思，你的那个投标竞价方案---物品由投标最高者按
自己报价买下来，有个致命弊端：它不鼓励说真话。各人为自己利益
计算，将不会在竞价中报出自己的真实估价。
以房子为例。假如老大知道别人对房子的估价最多只有20万，则他只
须报出稍高于20万的价格，就可以把房子拿走，又何苦报出自己真实
估价25万，以致多付出近5万大洋呢？
当然，在各人都完全清楚别人估价几何的情况下，不说真话不会影响
最后的配置结果---房子仍然将被实际估价最高的人拿走。
但是，假设三兄弟不知道别人估价几何，这时各人仍不会诚实报出自
己估价，而是首先凭概率估计别人的最高出价是多少，再以此决定自
己出价。在这种情况下，就有可能出现低效率的分配结果---房子不被
实际估价最高者拿走。在许多情况下出现这种结果的概率将不再是零。
那么怎样才能让人说真话呢？一个简单的方案是：物品归投标最高者，
但他无须按自己报价买下来，而是按别人出的最高价买下来。以樊教
授大才，一定不难证明此时说假话不会给个人带来任何好处，因而每
个人都不会有假话的激励。
在博弈论中，上述第一种方案叫 first-price auction，第二个方案
叫 second-price auction。分析这两种方案之区别，现在已经成为
经济学的基本训练之一。
在这方面，小左和 yqy 都是行家。我说的不当之处，请小左老Y斧正 ^-^
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