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 【博弈论漫谈·互动认识论】解答换钱包问题 |
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作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
有几个网友提出一个有趣的博弈问题---换钱包：
假设有A,B两个人打赌，只要自己钱包里的钱比对方钱包里的钱少，就可以将
对方钱包里的钱赢过来；反之，假如不幸自己钱包里的钱比对方钱包里的钱
多的话，就不得不把自己的钱输给对方。当然假如两人钱包里的钱数量相同，
那就谁也赢不了谁的。A先生和B先生都是熟知对策论的、而且是理性的，A，
B同属一种人， 有一个大家都知道的钱包里钱数的分布。问他们什么情况下
会赌， 什么情况下不会？直觉告诉我， 如果双方钱的数目都为零， 他们就
会赌， (除非能证明钱数为零是唯一的A或B同意交换的条件)。假设钱数分布
的各种参数都为双方所知道，如何根据参数求临界条件？
网友何志勇问：
1、它跟不投机定理扯得上关系吗？
2、会有游戏发生吗？如果必然没有，如何证明任何一方钱数非为零时
必不愿意赌呢？ 或者是有一个根据分布参数可以计算的临界条件？
解答：
这确实是不投机定理的一个特例，答案是：不会有交换发生。
说得明确一点，假如：
a) 任何人，仅当期望获益值为正时，才会同意交换；
b) 仅当两人都同意交换时，交换才成立；
那么，不管两人钱包里钱数是多少，都不会有交换发生。
下面将会证明，当两人钱包里钱数为零时，期望得益值也为零，因
此根据以上a)，这时也不会有交换发生。
根据a)和b)，A和B二人，只有当他期望对方钱包里的钱数，大于自
己钱包里的钱数时，才会同意交换。这里的问题关键在于，他关于
对方钱包里有多少钱的期望值，并不是无条件期望植，而是给定对
方同意交换之条件下的条件期望植。
下面就用递归方法证明这个条件期望值为0。
设A知道自己钱包里的钱数为x，他不知道B钱包里有多少钱，只知
道此钱数是遵循某个已知分布的随机变量Y；类似地，B知道自己钱
包里的钱数为y，他不知道A钱包里的钱数，只知道A的钱数是一个
随机变量X。
1阶理性条件：
设 y_1 = E[Y] 是A对B之钱数的期望值，则只有当 x < y_1，
即A之钱数小于A对B之钱数期望值时，A才同意交换；
设 x_1 = E[X] 是B对A之钱数的期望值，则只有当 y < x_1，
即B之钱数小于B对A之钱数期望值时，B才同意交换；
2阶理性条件：
根据1阶理性条件，A知道B只有在其钱数小于x_1的条件下才
同意交换。设 y_2 = E[Y | Y < x_1] 为此条件下B之钱数的条件
期望值，则A只有在 x < y_2，即A之钱数小于A对B之钱数之条件
期望值时，才会同意交换 ；
类似地，设 x_2 = E[X | X < y_1]，则B只有在 y < x_2，
即B之钱数小于B对A之钱数之条件期望值时，才会同意交换 ；
3阶理性条件：
根据2阶理性条件，A知道B只有在其钱数小于x_2的条件下才
同意交换。设 y_3 = E[Y | Y < x_2] 为此条件下B之钱数的期望
值，则A只有在 x < y_3 时，才会同意交换 ；
类似地，设 x_3 = E[X | X < y_2]，则B只有在 y < x_3 时，
才会同意交换 ；
....
n阶理性条件：
根据2阶理性条件，A知道B只有在其钱数小于x_{n-1}的条件下才
同意交换。设 y_n = E[Y | Y < x_{n-1}] 为此条件下B之钱数的期望
值，则A只有在 x < y_n 时，才会同意交换 ；
类似地，设 x_n = E[X | X < y_{n-1}]，则B只有在 y < x_n 时，
才会同意交换 ；
....
如此等等，以至无穷，我们得到一系列条件期望值
x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, .... x_n, y_n, ....
数学上可以证明，一般情况下，当X、Y钱数分布的下限值为零时，
x_n, y_n 的极限为零。
这就证明了我们前面的命题：
已知A和B两人均具有充分理性(即满足1阶乃至无穷价理性条件)，
那么，给定对方愿意交换条件下各自关于对方有多少钱的条件期望值
必定为零。
这里的无穷阶理性问题，其实与如何达成理性共识有密切关系。它有许多奇
妙的应用，可参见云儿的文章《互识·共识·华容道》。
为什么说这是不投机定理的一个特例？云儿的《不投机定理》一文，提到提
到一个一般原理：
假设交易各方均具有充分理性，那么，任何一桩在事先不可能为
各方同时接受的交易，在各人各自取得进一步信息之后，无论这信
息的差异多大，都不可能为各方同时接受。
具体应用到这问题上，假设A、B两人不仅不知道对方的钱数，而且连自己钱
包里有多少钱也不知道，只知道钱数的期望值分别是 x_1 和 y_1，则很容易
看出，无论 x_1 > y_1, x_1 < y_1 或 x_1 = y_1，都不可能两个人都同意
交换。于是，根据不投机原理，当他们各自得到进一步信息，知道自己有多
少钱以后，也不可能双方都同时愿意交换。
注意：以上证明并不要求A、B之钱数分布相同。
作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org |
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