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换门问题答案及其趣闻

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但考虑到他亮门最多1/2的随机概率，换门最高赢率也才1/3，因此不如不换。 -- Anonymous - (62 Byte) 2001-11-07 周三, 上午4:52 (490 reads)

樊弓
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游客

标题: 换门问题再解－回古迷 (520 reads) 时间: 2001-11-07 周三, 下午1:08

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

换门问题再解－回古迷

樊弓 [email protected]

换门问题其妙无穷。古迷先生提出新的质询，很有意思。

－－－

原题：假定你在一个电视游戏中，主持人告诉你，这三扇关闭的门后面，有一辆轿车，两

只山羊。你要是选中了藏车的门，那车就归你。当然，你要是挑中了藏山羊的门，

那就只好吃羊肉。三扇门都没什么区别，因此挑中汽车的概率是 1/3。

于是你挑了一扇门，比如说第一扇门。剩下的两扇门后至少有一只羊。主持人当然

知道门后有什么，于是他打开一扇关羊的门（比如说第三门）。现在只剩两扇门。

主持人问你愿意不愿意换成第二门。请问你应不应该换？或者说你能否因为换门而

增加赢车的概率？

解：第一次选择有 1/3 机会中车，2/3 机会得羊。换门的结果是车换羊，羊换车，

故换门的结果是 1/3 得羊，2/3 机会赢车。换！

－－－

Marilyn 的标准答案基于一个假设：游戏的程序是确定的。即主持人必亮一门。

古先生提出一个新的可能：主持人可以亮门也可以不亮。原题只说他亮开一门，并

不排除他不亮门之可能。他可能在你挑中车时才给你换的机会以便引诱你弃车求羊。

当然，他也可能希望你赢，在你挑中羊的时候才给你换的机会。

古先生的思维方式很有新意。想到了一般人没想到的角度。作为叫兽，最高兴的就

是读者/听众/学生提出这种打破常规的见解。引发进一步思考。

如果主持人亮门是别有用心，那么换门与否就是跟主持人之间的心理战。这就

超出了数学的范畴，原问题无一般解。

如果你对主持人的动机无法猜测，只好假定他是否亮门是随机行为。在这种假定下，

还是应该换，因为换门赢车的机会是 1/2，不换门赢车的概率是 1/3。你看有没

有意思。

首先，把新题说清楚：

游戏规则：（1）你挑一门；（2）主持人随机选择是否亮出一个藏羊门；（3）如果

亮门，问你换不换。

分析两种策略：

策略1：只要主持人亮门，立即换门。

策略2：不管主持人耍什么把戏，就是不换。

显然，策略2赢车的概率是第一次选中车的概率，即 1/3。那策略1呢？

策略1有四种结果：

一选得车，不亮门；概率：(1/3)x(1/2)=1/6，结果：没门可换，赢车

一选得车，亮羊门；概率：(1/3)x(1/2)=1/6，结果：换门弃车，牵羊

一选得羊，不亮门；概率：(2/3)x(1/2)=1/3，结果：没门可换，牵羊

一选得羊，亮羊门；概率：(2/3)x(1/2)=1/3，结果：换掉羊门，赢车

策略1赢车概率：1/6 + 1/3 = 1/2

还是换的好！

作者：Anonymous 在罕见奇谈发贴, 来自 http://www.hjclub.org

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