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 以布朗运动为例说说数学在物理学中的三条狈腿 |
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断章师爷
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加入时间: 2009/08/25
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作者：断章师爷 在 驴鸣镇 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
以布朗运动为例说说数学在物理学中的三条狈腿
断章师爷
芦笛先生在《哲学，是贫困还是富饶？（四）》一文中以他独特的语言阐述了数学与物理学之间“狼狈为奸”的关系。
物理学领域中的一个重要组成部分是理论物理学。理论物理学是从一系列的基本物理原理出发，列出数学方程，再用传统的数学分析方法求出解析解，通过这些解析解所得到的结论和实验观测结果进行对比分析，从而解释已知的实验现象并预测未来的发展。实验物理学是另一个重要的组成部分。说得学术一些，实验物理学是以实验和观测为基础，揭示新的物理现象，探求物理现象后面的原因，为发现新的物理理论提供依据，或者检验理论物理推论的正确性和应用范围。说得通俗一点，实验物理学是就是使用不同的实验仪器去测定客观世界中各种物质的物理性质。
这儿我想以布朗运动为例子，说明一下数学在上述两个物理学领域里的作用。罗伯特•布朗（Robert Brown，1773－1858）是英国植物学家，长期从事植物分类学研究，曾被委任为大英博物馆的植物标本库负责人。他在1827年用显微镜观察水中悬浮的花粉颗粒时，发现颗粒在无外力作用下，总是不停地运动。他把自己观察到的现象写成论文以“在1827年六月七月和八月对于包含在植物花粉上的颗粒以及通常存在于有机和无机物体上具有活力的颗粒进行显微镜观察后所作的一个简短报道” 为题发表在《哲学杂志》（Phil. Mag. 4, 161-173,1828）上。后人把这种无规则的随机现象称为布朗运动。
（一）布朗运动的理论分析
第一个对于布朗运动的本质问题进行探讨的是爱因斯坦。布朗运动的理论模型是爱因斯坦在1905年建立的。这一年被称为爱因斯坦的“奇迹年”，因为他发表了五篇具有划时代意义的论文，包括了现代物理学中三项伟大的成就：分子运动论、狭义相对论和光量子假说。其中一篇《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小颗粒的运动》解决了布朗运动的数学表示式这一悬而未决的难题。
首先，爱因斯坦利用通常的统计力学方法求出处于热力学平衡状态下的均匀液体中某个球状悬浮颗粒的重心某个时刻在其周围一个无限小空间中出现的概率表示式。接着，他求出了该重心在平衡位置处的均方根位移表示式。并将在振动频率较低的情况下根据普朗克辐射定律得到了辐射密度表示式，并代入均方根位移的表示式中。所得结果可用以判断使得悬浮颗粒不至因为重力的作用而能持久地在体系中保持平衡的尺度极限。然后，爱因斯坦将单个悬浮颗粒的表示式推广到由n个颗粒组成的庞大体系（n是个非常大的数字），计算出热运动对于悬浮颗粒重心位移产生的影响。换句话说得到了由n个颗粒组成的体系的均方根位移表示式。爱因斯坦将Stokes定律中的迁移率代入平移和转动这两种运动方式的均方根位移表示式中，得到了布朗运动的表示式。
另一位波兰数学家兼物理学家斯莫鲁霍夫斯基(Marian Smoluchowski 1872-1917)运用概率方法独立解决了布朗运动的数学表示。他假定在质量为M的测试颗粒和质量为m的流体颗粒之间发生了碰撞，M远远大于m。应用动量估算可以得到测试颗粒的速度增量表示式。斯莫鲁霍夫斯基假设颗粒的碰撞仅限于一维；测试颗粒对流体颗粒从左至右的撞击概率与从右至左的撞击概率相等；每一次撞击引起的速度增量具有相同的量值。于是他得到了碰撞的相重数的表示式以及可能状态的总数，因此分别计算出了从左至右的撞击概率和从右至左的撞击概率。他还计算了平均的总速度改变以及当颗粒总数非常大时平均总速度改变的极限值。斯莫鲁霍夫斯基得到的布朗运动的数学表示式与爱因斯坦的结果殊途同归。
显然，无论是爱因斯坦还是斯莫鲁霍夫斯基都依仗了数学这条狈腿建立了布朗运动的物理模型。
（二）布朗运动（扩撒系数）的实验测定
布朗运动引起的一种物理现象是扩撒。所谓扩散(diffusion)是指物质分子从高浓度区域向低浓度区域转移，直到分布均匀的这种物理现象。扩散的宏观规律是德国生理学家菲克(Adolf Eugen Fick 1828-1901) 在研究心脏输出的血液时发现的。扩撒的实质是布朗运动引起的位移。
用实验作为手段研究扩撒现象是测定其扩散系数。扩散系数是研究材料流变性能的一个重要参数，其值等于物质在单位时间内、单位浓度梯度作用下、经单位面积沿扩散方向传递的物质量。
测定扩撒系数最常用的方法是动态光散射（DLS，即Dynamic light scatterring的缩写）。动态光散射又称为准弹性光散射，以区别于弹性光散射（Rayleigh散射），也区别于非弹性光散射（Raman 散射）。动态光散射测定的称为光子相关光谱，这是因为使用的相关仪测定的是自相关函数。
光在传播时若碰到颗粒，一部分光会被吸收，一部分会被散射掉。动态光散射测定的是散射光的强度。散射物质悬浮在液体中做无规则的布朗运动，做布朗运动的粒子速度，与粒径相关（Stokes - Einstein方程）。大颗粒运动缓慢，小粒子运动快速。所以测定得到的自相关函数是从不同粒径得到的散射光子的叠加结果。根据Wiener - Khintchine原理从测定得到的自相关函数中可以得到衰变速率。由衰变速率和波矢之间的关系可以得到扩撒系数。
动态光散射实验数据的解析实质上是数学上求积分方程的核。通常可以使用下列三种途径：（1）累积量法（2）逆拉普拉斯法以及（3）最大熵法。
除了上面介绍的动态光散射法之外，还有一种测定扩撒系数的实验手段是脉冲场梯度核磁共振（PFG-NMR,，即Pulsed Field Gradient-Nuclear Magnetic Resonance的缩写)。有关实验测定数据的分析也依赖相应的数学工具。
综上所述，可见布朗运动（扩撒系数）的实验测定还是离不开数学这条狈腿。
写到这儿，我不禁想到了物理学领域里还有一门比较新的分支，即所谓计算物理学（computational physics）是物理学、数学、计算机科学三者结合的产物，与理论物理和实验物理有着密切的关系。定义为以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂的物理现象问题的一门应用学科。所以索性再添上一条狈腿。
（三）布朗运动的计算机模拟
1908年法国物理学家郎之万(Paul Langevin，1872－1946)在法兰西学院科学年鉴上发表了“关于布朗运动的理论”一文，推导出有关的运动轨迹，得出了以他名字命名的郎之万方程。郎之万依据牛顿第二定律将作用在颗粒上的力表示成两个部分：热力学引起的随机扰动和流体力学引起的粘滞阻力。第二部分的粘滞阻力可以很方便地应用Stokes定律的结果来表示。第一部分随机作用力却无法用确切的解析式来表示，通常认为随机过程具有Gaussian 分布的形式。但是我们知道随机作用力的统计平均值应当为零，于是可以得到对应的（时间）相关函数一阶矩的表示式。可以证明当扩撒系数和位移无关时，郎之万方程和斯莫鲁霍夫斯基方程式是等价的。由于郎之万着眼于单颗粒子的布朗运动，所以他的结果可以应用于确定性模拟方法，即统计物理中的分子动态方法（MD,即Molecular dynamics的缩写）。通过直接对系统中的一个个分子运动方程的数值求解，得到各个时刻的分子的坐标和动量，即相空间中的轨迹，利用统计力学计算方法得到多体系统的静态或者动态性质，从而实现对于系统宏观性质的模拟。
然而，我不得不指出，用计算机模拟布朗运动必须非常谨慎。否则，往往是失之毫厘，谬以千里，在笔者从事的材料学科中尤其如此。因为客观体系过分复杂，计算机模拟的仅仅是其中的一个面貌，甚至是一个简化了的面貌。模仿到的结果往往只是其中一个侧面，甚至是一个走了样的侧面。所以，闯进布朗运动的计算机模拟领域中的这条狈腿常常是条瘸腿。
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