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主题: 鬼谷子数字题的解
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作者 鬼谷子数字题的解   
黄叶
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文章标题: 鬼谷子数字题的解 (580 reads)      时间: 2001-12-10 周一, 上午1:40
作者：Anonymous 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org

题目说：



孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟；

一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；



庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。



孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。



问这两个数字是什么？



设这两个数字是A和B，



第一，庞知道A+B的值，将其分解成一系列的可能解M+N，发现M和N不同时为素数，

也不能分解成其中一个素数大于等于53，于是断定孙不可能知道A和B的值。



第二，孙知道A*B的值，将其分解成一系列可能解X*Y。孙听到庞的判断后，立即知

道了A和B的值。因此X+Y的值必有且仅有一个不能分解成两个素数之和。



第三，当庞知道孙能够判断出A和B的值时，就立即知道A和B的值。这说明将各组M*N的

值分解成各种可能解的K*L，只有一组由M*N分解出来的K*L满足：K+L的值有且仅有

一个不能分解成两个素数之和。



根据第一点，可知A+B的值不可能分解成两个素数之和。2至99之间所有素数两两加

和，得到一系列数字。



A+B介于[5，197]之间，不能分解成两个素数之和的数字是：



6　11　17　23　27　29　35　37　41　47　51　53　57　59　65　67　71　77　79　

83　87　89　93　95　97，101至189的全部奇数，166　174　178　182　184　188，

190至197。



由于6　196　197只有唯一解，所以排除。



再排除能分解出大于等于53素数的数字，就剩下11　17　23　27　29　35　37　41　

47　51　53和194。194的任一个可能解，对孙都是唯一解，也排除。



余下的11　17　23　27　29　35　37　41　47　51　53就可以根据第二第三条来判

定。



比如11，对庞而言可能的(A，B)为(2，9)(3，Cool(4，7)(5，6)，每一组都满足第二条，

也就不满足第三条。



最后答案是什么？





两数之和不可能超过53。



如你的解success_a=19,success_b=94，



对庞来说，将113分解，如果这两个数为53和60，那么孙的两数

之积为3180，分解为2*2*3*5*53，由于范围是[2，99]，故孙立即

可以得出唯一解。那么庞就不可能判断：孙不能得出答案。



根据分析，两数之和只可能为11　17　23　27　29　35　37　41　

47　51　53。



23也不是答案。为简单起见，只取它能分解出的三组数(4，19)(7，16)(10，13)。



若为(4，19)，孙得到可能解为2*38和4*19，其和分别为40和23；

若为(7，16)，他得到可能解为2*56，4*28，7*16和8*14，其和分别为57，32，23和22。

若为(10，13)，他得到可能解为2*65，5*26和10*13，其和分别为67，31和23。



在这三种情况下，孙都可以从庞的判断得出唯一结论。



但是，庞却不能由孙的肯定而判断出这两个数是(4，19)，(7，16)还是(10，13)。



所以23不是题解。



先前证明鬼谷子的题目的解只可能在11　17　23　27　29　35　37　41　47　51　53中间。

到底是哪一个，一步步验算太繁且容易出错，所以就没有继续下去。



现在找到一个简便的判别方法：



对某组可能解A和B，A+B一定不能分解成两素数之和，且一定可以分解成一系列2^n+a的形式，

其中n一定大于1。



推理1)

如果a是素数，则由a*2^n分解出来的一系列a*2^n，2a*2^(n-1)...(2^(n-1)*a)*2可能解中，

必然只有一个a+2^n不能分解成两素数之和。因为其它的可能值都是偶数，根据还没证明的歌

德巴赫猜想，全都可以分解成两个素数之和。



那么，对某组可能解A和B，如果由A+B分解成的一系列2^n+a，a有两个或两个以上素数解，这

组A和B一定不是题解。



推理2)

每个A+B一定有一个素数解a。



如果其它某个a是两个素数之积b*c，当b+c2^n或者c+b2^n能分解成两个素数之和，或者大于53，

由于b*c+2^n满足不能分解成两个素数之和这一条件，这个b*c+2^n必然也满足第二条。



即，有多组解满足第二条，那么这组A和B一定不是题解。



对于a是两个以上素数之积的情况，可以类推。



下表列出所有可能解A+B与2^n的差，即a的值：



4 8 16 32

11 7 3

17 13 9

23 19 15 7

27 23 19 11

29 25 21 13

35 31 27 19 3

37 33 29 21 5

41 37 33 25 9

47 43 39 31 15

51 47 43 35 19

53 49 45 37 21



根据推理1)，11　23　27　35　37　47　51都可以排除。剩下17　29　41　53。



根据推理2)



29有(4，25)(8，21)(13，16)三组满足第二条。

41有(4，37)(16，25)(9，32)三组满足第二条。

53有(8，45)(16，37)(21，32)三组满足第二条。



所以只剩下17是可能解。



验证表明，17是唯一解。





如果是84和91，会有孙不需要暗示立即可以肯定判断的情况。



回答: 向黄叶同学请教这个和： 175 由 slashdot 于 October 28, 2001 13:18:57:



84+91=97+78=89+86=83+92=79+96



这几种情况下，孙不需要暗示立即可以肯定判断.



我已经说明，只要一个和A+B可以分解出大于等于53的素数跟另其

它合数的和，这种情况下庞就不能做出第一个判断。



比如在A+B=175时，如果孙刚好是7566，他可以立即判断解为78和97。

而不需要庞的判断。庞也不能做出第一个判断。



7566=78*97=39*194

显然第二组不可能。







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