马悲鸣
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加入时间: 2004/02/14
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作者：马悲鸣 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org
从二项分布的正态逼近看沉默的大多数
•马悲鸣•
牛顿二项式的系数
下面是二项式（只有两个数相加）的各次指数的展开式
〖(a+b)〗^0=1
〖(a+b)〗^1=〖a+b〗^
〖(a+b)〗^2=〖a^2+2ab+b〗^2
〖(a+b)〗^3=〖a^3+3a^2 b+3ab^2+b〗^3
〖(a+b)〗^4=〖a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b〗^4
〖(a+b)〗^5=〖a^5+5a^4 b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5ab^4+b〗^5
〖(a+b)〗^6=〖a^6+6a^5 b+15a^4 b^2+20a^3 b^3+15a^2 b^4+6ab^5+b〗^6
……
因为1作为系数可以忽略不写，故抽去上面这一系列二项展开式中的两项代数而只看其系数，则这一系列展开式的系数就形成了一个三角形
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
这个三角形上各个数值之间的关系可以看上面的右图。除了两条斜边全都由1构成外。其他的数都是由它头顶上的两个数相加所得。图中绿色的六边形里应该是3，也即它头顶上两个橙色六边形里的数2和1相加得来的。那么再下一行中的三个空白六边形里的数就应该依次是1+3=4，3+3=6和3+1=4。再往下图中没有给出的一行就应该是1，5，10，10，5，1。然后是1，6，15，20，15，6，1。
历史上最早记载这个三角形的是古印度。印度数学家宾伽罗在其梵语诗集（约450年）中，提到这个“须弥山之楼梯”。他还指出了斐波那契数列和这个三角形的关系。
波斯数学家 Karaji 和天文学家兼诗人 Omar Khayyám在10世纪都发现了这个三角形，而且Karaji还知道可以借助这个三角形找n次根，和它跟二项式的关系。在伊朗，这个三角形称为“Khayyám三角形”。
13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半北宋贾宪的《释锁算术》。所以这个三角形在中国被称为“杨辉三角形”或“贾宪三角形”。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角形”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
布莱士•帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（《论算术三角形》1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响广泛。 Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕•棣美弗（1730年）都称其为帕斯卡三角形。
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：
宾伽罗 印度 450 梵语诗集
Karaji 和 Omar Khayyám 波斯 10世纪
贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功
朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
阿尔•卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
阿皮亚纳斯 德国 1527
施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
薛贝尔 法国 1545
B•帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
杨辉三角形
这其中需要说明的是，我看到的最早的这个三角形的图形是在杨辉的书里。虽然他说自己是从北宋贾宪的《释锁算术》里抄来的。但《释锁算术》已经失传，我们看不到贾宪所画的图形了；就如欧几里德声称在中国被称为勾股定理的那个东西是毕达哥拉斯最先证明出来的。但毕氏的证明过程却是由欧几里德在其《几何原本》里复述的一样。至今勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，而帕斯卡三角形在中国被称为杨辉三角形。
二项分布
现在让我们把这个三角形上每一行的数累加起来看看是什么结果：
1=1=2^0 太极 道
1+1=2=2^1 太极生两仪 道生一 原点把一维数轴分为正负两侧
1+2+1=4=2^2 两仪生四象 一生二 xy两轴把两维平面分成四个象限
1+3+3+1=8=2^3 四象生八卦 二生三 xyz三个轴把三维空间分成八个卦限
1+4+6+4+1=16=2^4 三生万物
1+5+10+10+5+1=32=2^5
1+6+15+20+15+6+1=64=2^6
……
为什么到了四象生八卦和二生三之后就没有了，而笼统地称之为“三生万物”呢？盖因空间只有三维。那时候还没把时间加进去而成为四维时空呢。这是情有可原的。“三生万物”可以理解成三维空间八个卦限里生出万物。太极是一；道是2的零次方〖（2〗^0=1）也是一；即大爆炸宇宙学说的那一个爆炸原点。两仪是一维数轴；“道生一”，道所生的一是2的1次方〖（2〗^1=2）也是二，两仪的二。四象是两维平面；“一生二”，一所生的二是2的2次方〖（2〗^2=2）也是四，四象的四。八卦是三维空间；“二生三”，二所生的三是2的3次方〖（2〗^3=8）也是八，八卦的八。中国古代所谓博大精深的道家哲学就提供了这些信息。太极和道实际上就是什么都没有。无极之外复无极也。
现在把牛顿二项式(a+b)^n里的 〖a和b〗^用 〖p和q〗^代替。并限制p+q=1和(0≤p≤1,0≤q≤1)就是概率论里的二项分布问题。
让我们投掷硬币来想象概率论里的二项分布。硬币只有正面（人头 head 用H代表）和背面（和头相反的是尾巴 Tail，用T代表），且各自落地的概率为50%或二分之一。p_H=p_T=1/2,(p_H+p_T=1)(注：这里用p_H 代表上述的p,用p_T 代表上述的q。)
手持硬币不投掷，则只有一个结果，就是没结果，不知道掉下来哪面朝上。这是太极，也即道。
投掷一次，是两个结果H或T，各自二分之一的概率。这是太极生两仪（两种可能的结果），也即道生一，投掷一枚硬币。
如果用一枚硬币投掷两次，因为第一次投掷的结果不可能影响到第二次投掷，故两次投掷是各自独立的事件。则两次投掷的联合结果是各自概率的乘积：
p_HH=p_H×〖 p〗_H=1/2×1/2=1/4
p_HT=p_H×〖 p〗_T=1/2×1/2=1/4
p_TH=p_T×〖 p〗_H=1/2×1/2=1/4
p_TT=p_T×〖 p〗_T=1/2×1/2=1/4
可能的结果有以下四种
（HH）
（HT）（TH）
（TT）
如果不计较结果的先后次序，那么可以用两枚无差别的硬币投掷一次以代替一枚硬币连投两次，则只有三种可能，两个都是头，一头一尾和两尾。
在上述四种可能的概率中先头后尾和先尾后头的结果都是一头一尾，故可将两者的概率合并计算为一头一尾的概率，用带括号（）的下标表示结果不分先后，则有：
p_(（TH）)=p_TH+〖 p〗_HT=1/4+1/4=1/2
这是两仪生四象，或者一生二。不过是四象中的两象可以合并计算罢了。
如果用一枚硬币连投三次，则我们会得到八种结果的概率：
p_HHH=p_H×〖 p〗_H×〖 p〗_H=1/2×1/2×1/2=1/8
p_HHT=p_H×〖 p〗_H×〖 p〗_T=1/2×1/2×1/2=1/8
p_HTH=p_H×〖 p〗_T×〖 p〗_H=1/2×1/2×1/2=1/8
p_THH=p_T×〖 p〗_H×〖 p〗_H=1/2×1/2×1/2=1/8
p_HTT=p_H×〖 p〗_T×〖 p〗_T=1/2×1/2×1/2=1/8
p_THT=p_T×〖 p〗_H×〖 p〗_T=1/2×1/2×1/2=1/8
p_TTH=p_T×〖 p〗_T×〖 p〗_H=1/2×1/2×1/2=1/8
p_TTT=p_T×〖 p〗_T×〖 p〗_T=1/2×1/2×1/2=1/8
可能的结果有如下八种
(HHH)
(HHT)(HTH)(THH)
(TTH)(THT)(HTT)
(TTT)
如果不计较结果的先后次序，那么可以用三枚无差别的硬币投掷一次以代替一枚硬币连投三次，则只有四种可能，三个头，两头一尾，一头两尾和三尾。
在上述八种可能的概率中两头一尾和一头两尾的结果各有三个，故可以各自累加起来。则只有四种结果，其概率分布为：
p_(（HHH）)=p_HHH=1/8
p_(（HHT）)=p_HHT 〖+ p〗_HTH 〖+ p〗_THH=3×1/8=3/8
p_(（HTT）)=p_HTT 〖+ p〗_THT 〖+ p〗_TTH=3×1/8=3/8
p_(（TTT）)=p_TTT=1/8
这是四象生八卦，或者二生三。不过除了乾坤两卦外，八卦中有两组，每组各自三个卦象可以合并起来计算概率。
……
现在让我们把前头那个杨辉三角形中的各个数值用各自那一行的累加值除一下，我们就得到了下面这个三角形：
1
1/2 1/2
1/4 2/4 1/4
1/8 3/8 3/8 1/8
1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32
1/64 6/64 15/64 20/64 15/64 6/64 1/64
……
因为每行都是用各自的累加值除的，故除过了之后的累加值必定为1。我们看看前四行，正好就是前面已经举例的掷币概率的分布。一次投掷四枚、五枚、和六枚的概率结果在下面这个概率三角形的底下三行：
由此我们可以看到，全是头（H）或者全是尾（T）的概率随着所投硬币的个数增加而由二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一，三十二分之一，六十四分之一……递减。
现在将上述概率三角形中的第五行和第七行与指数n=20时的图形给出如下：
由这个图形的变化可见，随着掷币的个数增多，各种概率的分布逐渐逼近于一个叫做正态分布的钟形。全都是正面的头（H）和全都是背面的尾（T），甚至多头（H）少尾（T）和少头（H）多尾（T）的概率都越来越小。
政策的二项分布
现在我们来考虑政治态度问题。如果把土改、镇反、城市工商业改造、反右、大跃进、文化大革命和六四武装驱逐当做各自独立的六个事件，让所有人都去用（赞成/反对）投票，比如某小市民选择赞成土改、镇反、城市工商业改造、反右、大跃进，但反对文化大革命和六四武装驱逐。另一黑五类的地主“狗崽子”选择反对土改，但赞成城市工商业改造、反右、大跃进、文化大革命和六四武装驱逐。
假定对这六起事件赞成和反对的概率各自一半，则投票结果就成了一个上面第二张图的分布。因为上述六个事件全都是共产党干的，故六个事件都选赞成的便是《乌有之乡》。六个事件全选反对的便是《炎黄春秋》。如果把选择的项目继续增多，则对共产党所有政策全都赞成的是中共自己，全都反对的是民运。因为双方都坚持“凡是敌人拥护的，我们就要反对；凡是敌人反对的，我们就要拥护”。双方都掌握有传媒；在国内是党的喉舌，在海外是美国民主基金会支持的自由亚洲电台，《北京之春》和《民主中国》杂志，还有法轮功的电视台和网站等。
因为只有极端的两派是掌握了传媒的，故其他意见都无从发表。除了全反对和都赞成两种立场以外的人，便成了沉默的大多数。本人“中共万恶，唯善六四”的观点自然也入了沉默的大多数之列。两头极端的人数在正态分布的两头甩出去的尾巴尖上，不会超过各自0.5%。两端相加不会超过1%。剩下的百分之九十九以上都属沉默的大多数。现在中国有十三亿人，百分之一就是一千三百万。现在能说话的人有真么多吗？
其实，即使党的政策每次都有90%赞成，10%反对，那么随着政策的增多，全赞成的百分比仍会按照90%的指数减少。
一项政策的支持率90%，
两项政策都支持的比例就是〖0.9〗^2=81%
三项政策都支持的比例为〖0.9〗^3=72.9%。
四项政策都支持的比例为0.9^4=65.6%。
五项政策都支持的比例为〖0.9〗^5=59%。
六项政策都支持的比例为〖0.9〗^6=53.1%
七项政策都支持的比例为〖0.9〗^7=47.8%，由此开始低于50%。
八项政策都支持的比例为〖0.9〗^8=43%
九项政策都支持的比例为〖0.9〗^9=38.7%
十项政策都支持的比例为〖0.9〗^10=34.9%
二十项政策都支持的比例为〖0.9〗^20=12%
五十项政策都支持的比例为〖0.9〗^50=0.52%
五十项政策都支持的比例连百分之一都不到了。也就是说，至少反对一项执政党政策者的比例高达1- 0.52% = 99.48%，多于百分之九十九了。当然，反对派意见也以相同的指数锐减，而且因其基数只有10%，所以减得更快，两项政策都反对的比例降到1%,三项政策都反对的比例就降至0.1%了。
其实中共治国的办法是通过政治动员、思想工作（实际上就是催眠术）和批斗恫吓，迫使90%的人都像申纪兰、倪萍那样赞成中共的所有政策。另外10%的人敢怒而不敢言。一旦改革开放，中共的政策势必由政治转向经济，很多政策的实施会牵扯到不同群落的经济利益。一项政策获得这90%的人赞成，另一项政策获得另外90%的人赞成，而这两个90%的人群并不完全重合。当每个人都从自己的利益角度来审视共产党的各项政策时，这种不同政策的串联，90%赞成率连乘的二项分布正态逼近就会到来。要想执政党的政策保持在超过50%的人支持，就得定期洗牌，从头再来。从上述第七项政策开始，完全赞成执政党政策的人口比例已经跌破50%以后，重新选举新的执政党。过去的记录全部作废，重新开始计算的支持率又回升到第一项政策时的90%。
【二项分布的正态逼近有严格的数学推导。有兴趣的读者可以去查教科书。这里因篇幅所限，不再详述。--马】
作者：马悲鸣 在 罕见奇谈 发贴, 来自 http://www.hjclub.org |
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从二项分布的正态逼近看沉默的大多数
